Question

【題目】如圖，已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為， 是橢圓上的一個(gè)點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為， （）是橢圓上異于的任意一點(diǎn)， 軸， 為垂足， 為線段中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn), 為線段的中點(diǎn)，如果的面積為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：(1)設(shè)橢圓方程為,由題意,得,再由是橢圓上的一個(gè)點(diǎn),即可求出橢圓方程;

(2)根據(jù)題意,求出直線AB的方程、點(diǎn)M,C,N的坐標(biāo),計(jì)算,可得,再利用,結(jié)合橢圓方程,求解可得結(jié)果.

試題解析：（1）設(shè)橢圓方程為，由題意，得． 因?yàn)?/span>，所以．又是橢圓上的一個(gè)點(diǎn)，所以，解得或（舍去），從而橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）因?yàn)?/span>， ，則，且．因?yàn)?/span>為線段中點(diǎn)， 所以．又，所以直線的方程為．因?yàn)?/span>令，得． 又， 為線段的中點(diǎn)，有．

所以．

因此，

=．從而．

因?yàn)?/span>， ，

所以在中， ，因此．從而有，解得．

點(diǎn)晴：本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系. 直線和圓錐曲線的位置關(guān)系一方面要體現(xiàn)方程思想，另一方面要結(jié)合已知條件，從圖形角度求解．聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解是一個(gè)常用的方法. 涉及弦長(zhǎng)的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡(jiǎn)化運(yùn)算．