Question

2．設f（x）是定義在R上的偶函數f（x）+f（2-x）=0．當x∈[0，1]時f（x）=x²-1，若關于x的方程f（x）-kx=0恰有三個不同的實數解，則正實數k的取值范圍是（　�。�

• A． （5-2$\sqrt{6}$，4-$\sqrt{13}$）
• B． （8-2$\sqrt{15}$，4-2$\sqrt{3}$）
• C． （5-2$\sqrt{6}$，4-2$\sqrt{3}$）
• D． （8-2$\sqrt{15}$，4-$\sqrt{13}$）

Answer 1

分析 根據函數奇偶性和對稱性求出函數的周期，以及函數的解析式，利用函數與方程之間的關系，轉化為函數f（x）與y=kx有三個不同的交點，利用數形結合，以及直線和拋物線相切的等價條件，利用判別式△=0，進行求解即可．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的偶函數f（x）+f（2-x）=0．
∴f（x）=-f（2-x）=-f（x-2），
即f（x+2）=-f（x），
則f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即函數的周期是4的周期函數，
若x∈[-1，0]時，則-x∈[0，1]時，此時f（-x）=x²-1=f（x），
即f（x）=x²-1，x∈[-1，0]，
綜上f（x）=x²-1，x∈[-1，1]，
若x∈[-2，-1]時，則x+2∈[0，1]，
則由f（x+2）=-f（x），得f（x）=-f（x+2）=-[（x+2）²-1]=1-（x+2）²，x∈[-2，-1]
若x∈[1，2]時，則-x∈[-2，-1]時，
則f（-x）=1-（-x+2）²=1-（x-2）²=f（x），
即f（x）=1-（x-2）²，x∈[1，2]，
即函數在一個周期[-2，2]上的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-（x+2）^{2}，}&{x∈[-2，-1）}\\{{x}^{2}-1，}&{x∈[-1，1]}\\{1-（x-2）^{2}，}&{x∈（1，2]}\end{array}\right.$，

若關于x的方程f（x）-kx=0恰有三個不同的實數解，
等價為f（x）=kx=0恰有三個不同的實數解，
即函數f（x）與y=kx有三個不同的交點，
作出函數f（x）和y=kx的圖象如圖：
當x∈[1，2]時，由f（x）=1-（x-2）²=kx，得x²+（k-4）x+3=0，
由判別式△=（k-4）²-12=0得k-4=±2$\sqrt{3}$，即k=4±2$\sqrt{3}$，
由1＜$-\frac{k-4}{2}$＜2，解得0＜k＜6
則k=4-2$\sqrt{3}$，此時兩個函數有2個交點．
當x∈[-4，-3]時，x+4∈[0，1]時，
則f（x）=f（x+4）=（x+4）²-1，x∈[-4，-3]，
此時當f（x）與y=kx相切時，即（x+4）²-1=kx，
即x²+（8-k）x+15=0，
判別式△=（8-k）²-4×15=0得k-8=±2$\sqrt{15}$，即k=8±2$\sqrt{15}$，
由-4＜-$\frac{8-k}{2}$＜-3，得0＜k＜2，
即k=8-2$\sqrt{15}$，此時兩個函數有4個交點．
故若關于x的方程f（x）-kx=0恰有三個不同的實數解，則正實數k滿足8-2$\sqrt{15}$＜k＜4-2$\sqrt{3}$，
故選：B

點評 本題主要考查函數與方程的應用，根據函數奇偶性和對稱性的關系求出函數的周期性和解析式，利用函數與方程的關系轉化為兩個函數的圖象交點問題是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．