Question

已知：函數f（x）=-x（x-a）²  （a∈R）
（1）求a=1時曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程
（2）當a＜0時，求函數f（x）的極小值
（3）是否存在實數a，使得f（x）在[-1，1]上單調遞增．若存在求出a，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當a=1時f（x）=-x³+2x²-x，得f′（x）=-3x²+4x-1，當x=2時y=-2，得切點為（2，-2）得切線的斜率k=-5；
（2）f'（x）=-3x²+4ax-a²=-（x-a）（3x-a），再研究導數為0時，左右附近的正負情況即可；
（3）欲使f（x）在[-1，1]上單調遞增，只需f′（x）≤0在[-1，1]上恒成立，利用分離法將a分離出來，求出不等式另一側的最大值，即可求出a的范圍．
解答：解：（1）當a=1時，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x∴f'（x）=-3x²+4x-1∴f'（2）=-5，f（2）=-2∴切線方程：y+2=-5（x-2），即：5x+y-8=0（4分）
（2）∵f（x）=-x（x-a）²=-x³+2ax²-a²x∴f'（x）=-3x²+4ax-a²=-（x-a）（3x-a）（5分）
則f（x），f'（x）的關系如下表表示：

	（-∞，a）	a
f'（x）	-		+		-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

∴f（x）的極小值=f（a）=0（8分）
（3）∵f（x）=-x（x-a）²在[-1，1]上單調遞增，則f'（x）=-3x²+4ax-a²≥0在[-1，1]恒成立         （9分）
∴∴a無解          （13分）
綜上，不存在實數a，使得f（x）在[-1，1]上單調遞增         （14分）
點評：本題主要考查了函數恒成立問題，以及利用導數研究函數的單調性、極值等基礎知識，考查計算能力和分析問題的能力．解決此類問題的方法是利用導數求出切線的斜率再求出切點即可，而解決方程有解問題時一般先轉化為利用導數求函數的最值，利用最值求出參數的范圍即可，高考考查的重點．