Question

函數(shù)f(x)=asin

πx

2

+bcos

πx

2

的一個(gè)零點(diǎn)為

1

3

，且f(

3

2

)＜f(

13

12

)＜0，對(duì)于下列結(jié)論：
①f(

13

3

)=0；②f(x)≥f(

4

3

)；③f(

13

12

)=f(

17

12

)
④f（x）的單調(diào)減區(qū)間是[4k-

2

3

，4k+

1

3

](k∈Z)；
⑤f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[4k+

4

3

，4k+

10

3

](k∈Z)．
其中正確的結(jié)論是______．（填寫(xiě)所有正確的結(jié)論編號(hào)）

Answer 1

由題意可得：f（x）=

a2+b2

sin（

π

2

x+φ），
∵f（

1

3

）=0，
∴sin（

π

6

+φ）=0，
∴φ=kπ-

π

6

（k∈Z）．不妨取φ=-

π

6

或φ=

5π

6

；
又f(

3

2

)＜f(

13

12

)＜0，即sin（

π

2

×

3

2

+φ）＜sin（

π

2

×

13

12

+φ）＜0，
∴φ=

5π

6

．
∴f（x）=

a2+b2

sin（

π

2

x+

5π

6

），
對(duì)于①，f（

13

3

）=

a2+b2

sin（

π

2

×

13

3

+

5π

6

）=

a2+b2

sin3π=0，故①正確；
對(duì)于②f（

4

3

）=

a2+b2

sin（

π

2

×

4

3

+

5π

6

）=

a2+b2

sin

3π

2

=-

a2+b2

．
∴f（x）=

a2+b2

sin（

π

2

x+

5π

6

）≥-

a2+b2

=f（

4

3

），即②正確；
對(duì)于③，∵f（

13

12

）=

a2+b2

sin（

π

2

×

13

12

+

5π

6

）=

a2+b2

sin

33π

24

=-

a2+b2

sin

3π

8

．
f（

17

12

）=

a2+b2

sin（

π

2

×

17

12

+

5π

6

）=

a2+b2

sin

37π

24

=-

a2+b2

sin

13π

24

≠f（

13

12

）．故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，由2kπ+

π

2

≤

π

2

x+

5π

6

≤2kπ+

3π

2

，（k∈Z）得其單調(diào)遞減區(qū)間為：x∈[4k-

2

3

，4k+

4

3

]．故④錯(cuò)誤．
對(duì)于⑤，由2kπ+

3π

2

≤

π

2

x+

5π

6

≤2kπ+

5π

2

，（k∈Z）得其單調(diào)遞增區(qū)間為：x∈[4k+

4

3

，4k+

10

3

]．故⑤正確．
故答案為：①②⑤．