Question

19．求y=$\frac{{x}^{2}+5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$的最小值．

Answer 1

分析 函數(shù)中 $\sqrt{{x}^{2}+4}$和 $\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$的積雖然是定值，但兩部分不能相等，所以不能由基本不等式求．通過(guò)換元利用導(dǎo)數(shù)求最值．

解答 解：y=$\frac{{x}^{2}+5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$，令$\sqrt{{x}^{2}+4}$=t（t≥2），
則y=t+$\frac{1}{t}$（t≥2）
∴y′=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$≥0
所以函數(shù)是增函數(shù)
∴當(dāng)t=2即x=0時(shí)函數(shù)有最小值$\frac{5}{2}$
函數(shù)的最小值為：$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是易錯(cuò)題，容易利用基本不等式求解最值．