Question

2．設函數(shù)f（x）=|x+a²|+|x-b²|，其中a，b為實數(shù)，
（1）若a²+b²-2a+2b+2=0，解關(guān)于x的不等式f（x）≥3；
（2）若a+b=4，證明：f（x）≥8．

Answer 1

分析 （1）由條件求得a=1，b=-1，再利用絕對值的意義求得f（x）=|x+1|+|x-1|≥3 的解集．
（2）由條件利用基本不等式求得a²+b²≥8，再利用絕對值三角不等式證得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a²+b²-2a+2b+2=（a-1）²+（b+1）²=0，∴a=1，b=-1．
∴函數(shù)f（x）=|x+a²|+|x-b²|=|x+1|+|x-1|≥3．
由于|x+1|+|x-1|表示數(shù)軸上的x對應點到-1、1對應點的距離之和，
而0.5和-0.5對應點到-1、1對應點的距離之和正好等于3，
故f（x）=|x+1|+|x-1|≥3 的解集為{x|x≤-0.5，或 x≥1.5}．
（2）證明：∵a+b=4，∴a²+b²+2ab=16≤2（a²+b²），∴a²+b²≥8． 
∴f（x）=|x+a²|+|x-b²|=|x+a²|+|x-b²|≥|（x+a²）-（x-b²）|=|a²+b²|≥8，
當且僅當a=b時，取等號，即f（x）≥8．

點評 本題主要考查絕對值的意義，絕對值三角不等式，基本不等式的應用，屬于中檔題．