Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（y≠0），其左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂．對于命題p：“?點P∈C，∠F₁PF₂＜$\frac{π}{2}$”．寫出?p，判斷?p的真假，并說明理由．

Answer 1

分析 ￢p容易寫出為，￢q：?點P∈C，$∠{F}_{1}P{F}_{2}≥\frac{π}{2}$，由于$∠{F}_{1}P{F}_{2}≥\frac{π}{2}$?$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}≤0$，可設P（x，y），從而可求出$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$，并且可得到x²≤-8，顯然不成立，從而得出￢p為假命題．

解答 解：￢p：?點P∈C，$∠{F_1}P{F_2}≥\frac{π}{2}$，該命題為假命題；
理由如下：
因為$∠{F_1}P{F_2}≥\frac{π}{2}?$$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}≤0$；
設P（x，y），F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），$\overrightarrow{P{F}_{1}}=（-1-x，-y），\overrightarrow{P{F}_{2}}=（1-x，-y）$；
∴$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}={x^2}+{y^2}-1≤0$時，${x^2}+3-\frac{3}{4}{x^2}-1≤0$；
即x²≤-8，無解；
所以￢p為假命題．

點評 考查橢圓的標準方程，知道全稱命題的否定為特稱命題，數(shù)量積的計算公式及其坐標運算．