Question

已知數(shù)列{a_n} 的前n項和為Sn=

n2+n

2

，
（1）求數(shù)列{a_n} 的通項公式；  
（2）求數(shù)列{a_nx^n-1}的前n項和（其中x＞0）．

Answer 1

分析：（1）由題意知得

a1=S1，n=1 an=Sn -Sn-1，n≥2

，由此可知數(shù)列{a_n}的通項公式a_n．
（2）數(shù)列{a_nxⁿ}是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積構(gòu)成的，求和適用錯位相減法，當(dāng)x=1時，即為等差數(shù)列求和，當(dāng)x≠1時，將和式兩邊乘以公比x，再錯位相減，即可得數(shù)列{a_nxⁿ}的前n項和T_n

解答：解：（1）a₁=S₁=

1

2

（1+1）=1，
a_n=S_n-S_n-1=

1

2

（n²+n）-

1

2

[（n-1）²+（n-1）]
=n．
當(dāng)n=1時，n=1=a₁，
∴a_n=n．
（2）T_n=1+2x+3x²+…nx^n-1…①
xT_n=x+2x²+3x³+…+nxⁿ…②
當(dāng)x≠1時：①-②得 (1-x)Tn=1+x+x2+…+xn-1-nxn=

1-xn

1-x

-nxn
Tn=

1-xn

(1-x)2

-

nxn

1-x

當(dāng)x=1時，S_n=

1

2

n（n+1）綜上
Tn=

1 2 n(n+1)；x=1 1-xn (1-x)2 - nxn 1-x ；x≠1

．

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式a_n=S_n-S_n-1求解數(shù)列的通項公式，以及等差數(shù)列的通項公式和性質(zhì)，數(shù)列求和的方法--錯位相減法，解題時要學(xué)會辨別數(shù)列類型，確定求和方法，認(rèn)真運算，避免出錯屬于基礎(chǔ)題．