Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.

求橢圓的方程；

已知與為平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）6

【解析】試題分析：（1）由橢圓定義得到動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立可得，通過(guò)根與系數(shù)的關(guān)系表示弦長(zhǎng)進(jìn)而得到四邊形面積的表達(dá)式，利用換元法及均值不等式求最值即可.

試題解析：

解：由可得，，又因?yàn)?/span>，所以.

所以橢圓方程為，又因?yàn)?/span>在橢圓上，所以.

所以，所以，故橢圓方程為.

方法一：設(shè)的方程為，聯(lián)立，

消去得，設(shè)點(diǎn)，

有

，

所以令，

有，由

函數(shù)，

故函數(shù)，在上單調(diào)遞增，

故，故

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，

四邊形面積的最大值為.

方法二：設(shè)的方程為，聯(lián)立，

消去得，設(shè)點(diǎn)，

有

有，

點(diǎn)到直線的距離為，

點(diǎn)到直線的距離為，

從而四邊形的面積

令，

有，

函數(shù)，

故函數(shù)，在上單調(diào)遞增，

有，故當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，四邊形面積的最大值為.

方法三：①當(dāng)的斜率不存在時(shí)，

此時(shí)，四邊形的面積為.

②當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)為：，

則

，

，

四邊形的面積

，

令 則

,

，

，

綜上，四邊形面積的最大值為.