Question

如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁C與截面DBC₁交于O點，AC，BD交于M點，求證：C₁，O，M三點共線．

Answer 1

【答案】分析：欲證C₁，O，M三點共線，只須證它們都在平面A₁ACC₁與平面DBC₁的交線上，根據(jù)立體幾何中的公理可知，只要說明C₁，O，M三點是平面A₁ACC₁與平面DBC₁的公共點即可．
解答：證明：如圖，因為C₁∈平面A₁ACC₁，且C₁∈平面DBC₁，
∴C₁是平面A₁ACC₁與平面DBC₁的公共點，又因為M∈AC，所以M∈平面A₁ACC₁，
∵M∈BD，∴M∈平面DBC₁，∴M也是平面A₁ACC₁與平面DBC₁的公共點，
∴C₁M是平面A₁ACC₁與平面DBC₁交線，
∵O是A₁C與平面DBC₁的交點，∴O∈平面A₁ACC₁，O∈平面DBC₁，
∴O也是平面A₁ACC₁與平面DBC₁的公共點，
∴O∈直線₁CM，即C₁，O，M三點共線．
點評：本題主要考查了平面的基本性質(zhì)及推論，做題時目標明確，知道要證什么就需證什么，掌握基本方法．