Question

若函數y=f（x）=sinx+cosx+2，x∈[0，2π），且關于x的方程f（x）=m有兩個不等實數根α，β，則sin（α+β）=（ ）
A．
B．
C．
D．無法確定

Answer 1

【答案】分析：利用兩角和的正弦公式化簡函數的解析式為y=2sin（x+ ）+2，由題意可得  2sin（x+ ）+2=m有兩個不等實數根α，β．且這兩個實數根關于直線x+=或直線 x+=對稱，求出α+β的值，可得sin（α+β）的值．
解答：解：函數y=f（x）=sinx+cosx+2=2（+ ）+2=2sin（x+ ）+2．
再由x∈[0，2π）可得 ≤x+＜2π+，故-1≤sin（x+ ）≤1，故0≤f（x）≤4．
由題意可得  2sin（x+ ）+2=m有兩個不等實數根α，β，
且這兩個實數根關于直線x+=或直線 x+=對稱，
故有 =，或 =，故 α+β= 或  α+β=，
故 sin（α+β）=，
故選B．
點評：本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數的對稱性，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．