Question

（2011•洛陽一模）如圖，在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中；PA⊥AC上一點(diǎn)．
（1）確定點(diǎn)G的位置，使FG∥平面PBD，并說明理由；
（2）當(dāng)二面角B-PC-D的大小為120°時(shí)，求PC與底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）G是EC的中點(diǎn)，利用三角形中位線的性質(zhì)，證明FG∥PE，利用線面平行的判定定理，即可得到結(jié)論；
（2）過B作BH⊥PC，垂足為H，連接DH，證明∠BHD是二面角B-PC-D的平面角，從而可求PC與底面ABCD所成角的正切值．

解答：解：（1）G是EC的中點(diǎn)，證明如下
連接PE，因?yàn)镚是EC的中點(diǎn)，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)，
∴FG∥PE，
∵PE?平面PBD，F(xiàn)G?平面PBD，
∴FG∥平面PBD，
（2）過B作BH⊥PC，垂足為H，連接DH，
由已知△PBC≌△PDC，
∴∠BCH=∠DCH，
∴△BCH≌△DCH，
∴DH⊥PC，
∴∠BHD是二面角B-PC-D的平面角．
設(shè)底面邊長為a，則BD²=2BH²-2BH²cos∠BHD，
∴BH=

6

3

a，
∵PB•BC=PC•BH，
∴

a2+PA2

•a=

2a2+PA2

•

6

3

a，
∴PA=a，
在Rt△PCA中，tan∠PCA=

PA

AC

=

a

2 a

=

2

2

，
即PC與底面ABCD所成角的正切值

2

2

．

點(diǎn)評：本題考查線面平行，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．