Question

已知雙曲線=1(a＞0，b＞0)的離心率為，F(xiàn)₁、F₂分別為左、右焦點，M為左準線與漸近線在第二象限內(nèi)的交點，且.

(1)求雙曲線的方程；

(2)設(shè)A(m，0)，B(，0)(0＜m＜1)是x軸上的兩點，過點A作斜率不為0的直線l，使得l交雙曲線于C、D兩點，設(shè)直線BC交雙曲線于另一點E，證明：直線DE垂直于x軸．

Answer 1

答案：(1)∵e=，得c=a，b=a，

又，解得M(),

而.

即a²-c²+a²=a²-c²=,

解得a²=1，b²=，

∴所求雙曲線方程為：x²-4y²=1．

(2)設(shè)點C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，E(x₃，y₃)，則直線l：y=(x-m)，

則，且=1

得(-2x₁m+m₂)x²+8mm²+2mx₁-m²=0

即(m²-2x₁m+1)x²+8m-(-2mx₁+m²)=0，且m²-2x₁m+10，

于是x₁x₂=,

即x₂=,

同理可得x₃=(將上式中的m用代替)

∴x₂=x₃，即直線DE垂直于x軸．