Question

 

一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示：

（I）求證：PA⊥BD；

（II）連接AC、BD交于點O，在線段PD上是否存在一點Q，使直線OQ與平面ABCD所成的角為30^o？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

 （I）由三視圖可知P-ABCD為四棱錐，底面ABCD為正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，

        連接AC、BD交于點O，連接PO ．     ………………………………………2分

        因為BD⊥AC，BD⊥PO，所以BD⊥平面PAC，………………………………4分

        即BD⊥PA．        ………………………………………………………………6分

（II）由三視圖可知，BC＝2，PA＝2，假設存在這樣的點Q，

因為AC⊥OQ，AC⊥OD，   

所以∠DOQ為直線OQ與平面ABCD所成的角   ……8分

在△POD中，PD＝2，OD＝，則∠PDO＝60^o，

在△DQO中，∠PDO＝60^o，且∠QOD＝30^o．所以DP⊥OQ．       ……10分

所以OD＝，QD＝．

所以．      ……………………………………………………………12分