Question

17．已知函數(shù)f（x）=-x²+e^x-1（x≤1）與g（x）=ln（-x+a）的圖象上存關(guān)于直線y=x-1對(duì)稱的點(diǎn)，則a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-2]
• B． [2，+∞）
• C． （-∞，2]
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 先求出g（x）的圖象關(guān)于直線y=x-1對(duì)稱的函數(shù)的函數(shù)y=-e^x-1+a-1，再將問題等價(jià)為方程a=-x²+2e^x-1+1（-∞，1]上有解．

解答 解：∵f（x）與g（x）的圖象上存關(guān)于直線y=x-1對(duì)稱的點(diǎn)，
∴f（x）的圖象與g（x）關(guān)于直線y=x-1對(duì)稱的圖象有公共點(diǎn)，
而函數(shù)y=ln（-x+a）關(guān)于直線y=x-1對(duì)稱的函數(shù)為：
x-1=ln[-（y+1）+a]，解得y=-e^x-1+a-1，
再聯(lián)立方程，-x²+e^x-1=-e^x-1+a-1，
分離參數(shù)a得，a=-x²+2e^x-1+1（x≤1），-------（*）
問題轉(zhuǎn)化為：方程（*）在區(qū)間（-∞，1]上有解，
記h（x）=-x²+2e^x-1+1（x≤1），
且h'（x）=2（e^x-1-x）≥0恒成立，所以函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，
因此，h（x）≤h（1）=2，
所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為：（-∞，2]，
故答案為：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了對(duì)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及方程有解問題的等價(jià)于轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想，屬于中檔題．