Question

17．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1$\sqrt{\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+4}$=1，記S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，若S_2n+1-S_n≤$\frac{m}{30}$對任意n∈N^*恒成立，則正整數(shù)m的最小值是10．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1$\sqrt{\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+4}$=1，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}-\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=4，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得${a}_{n}^{2}$=$\frac{1}{4n-3}$．
作差（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）=（S_n+1-S_n）-（S_2n+3-S_2n+1）=${a}_{n+1}^{2}$-${a}_{2n+2}^{2}$-${a}_{2n+3}^{2}$=$\frac{1}{4n+1}$-$\frac{1}{8n+5}$-$\frac{1}{8n+9}$，即可得出數(shù)列{S_2n+1-S_n}單調(diào)性，進(jìn)而得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1$\sqrt{\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+4}$=1，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}-\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=4，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為4．
∴$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}=1+4（n-1）=4n-3$．
∴${a}_{n}^{2}$=$\frac{1}{4n-3}$．
∵S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，
∴（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）=（S_n+1-S_n）-（S_2n+3-S_2n+1）
=${a}_{n+1}^{2}$-${a}_{2n+2}^{2}$-${a}_{2n+3}^{2}$=$\frac{1}{4n+1}$-$\frac{1}{8n+5}$-$\frac{1}{8n+9}$=$（\frac{1}{8n+2}-\frac{1}{8n+5}）$+$（\frac{1}{8n+2}-\frac{1}{8n+9}）$＞0，
∴數(shù)列{S_2n+1-S_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，
∴數(shù)列{S_2n+1-S_n}的最大項(xiàng)是S₃-S₁=${a}_{2}^{2}+{a}_{3}^{2}$=$\frac{1}{5}+\frac{1}{9}$=$\frac{14}{45}$．
∵$\frac{14}{45}$≤$\frac{m}{30}$，∴$m≥\frac{28}{3}$．
又m為正整數(shù)，
∴m的最小值為10．
故答案為：10．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性，恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．