Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過F₂的直線交雙曲線右支于A、B兩點(diǎn)．若△ABF₁是以B為頂點(diǎn)的等腰三角形，且△AF₁F₂，△BF₁F₂的面積之比S△AF1F2：S△BF1F2=2：1，則雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

分析：△AF₁F₂，△BF₁F₂的面積之比S△AF1F2：S△BF1F2=2：1轉(zhuǎn)化為AF₂=2F₂B，然后利用雙曲線的定義分別將邊長表示為a的關(guān)系，利用余弦定理建立a，c的方程，從而求出雙曲線的離心率．

解答：解：因?yàn)椤鰽F₁F₂，△BF₁F₂的面積之比S△AF1F2：S△BF1F2=2：1，
所以AF₂=2F₂B，
設(shè)BF₂=m，則AF₂=2m，所以BF₁=AB=3m．
又BF₁-BF₂=2m=2a，所以BF₁=3a，
又AF₁-AF₂=AF₁-2m=2a，所以AF₁=2a+2m=4a，
所以cos∠BAF₁=

2

3

等邊三角形，
在△AF₁F₂中，4c2=16a2+4a2-2•4a•2a•

2

3

，
∴3c²=7a²，
∴e=

c

a

=

21

3

．
故答案為：

21

3

．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的定義以及余弦定理的應(yīng)用，將面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為長度關(guān)系，利用余弦定理求出邊長和a，c之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．