Question

2．已知等差數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，a₃=7，且a₂，a₄，a₉成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）設(shè)b_n=a${\;}^{{2}_{\;}}$_ncosnπ（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d＞0，由a₂，a₄，a₉成等比數(shù)列，可得${a}_{4}^{2}={a}_{2}{a}_{9}$，可得d=3a₁．由a₃=7，可得a₁+2d=7，聯(lián)立解得a₁與d即可得出．
（II）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{n（1+3n-2）}{2}$=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$．b_n=$（-1）^{n}{a}_{n}^{2}$，可得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$-{a}_{1}^{2}+{a}_{2}^{2}$-${a}_{3}^{2}$+${a}_{4}^{2}$+…$（-1）^{n}{a}_{n}^{2}$．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S_n=$-{a}_{1}^{2}+{a}_{2}^{2}$-${a}_{3}^{2}$+${a}_{4}^{2}$+…+$（-{a}_{n-1}^{2}+{a}_{n}^{2}）$=（a₂-a₁）（a₂+a₁）+（a₄-a₃）（a₄+a₃）+…+（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）=3S_n．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S_n=S_n-1+b_n，即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d＞0，
由a₂，a₄，a₉成等比數(shù)列，可得${a}_{4}^{2}={a}_{2}{a}_{9}$，
∴$（{a}_{1}+3d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+8d）$，化為d=3a₁．
由a₃=7，可得a₁+2d=7，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{d=3{a}_{1}}\\{{a}_{1}+2d=7}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=3}\end{array}\right.$，
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2．
（II）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{n（1+3n-2）}{2}$=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$．
b_n=$（-1）^{n}{a}_{n}^{2}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$-{a}_{1}^{2}+{a}_{2}^{2}$-${a}_{3}^{2}$+${a}_{4}^{2}$+…+$（-1）^{n}{a}_{n}^{2}$．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S_n=$-{a}_{1}^{2}+{a}_{2}^{2}$-${a}_{3}^{2}$+${a}_{4}^{2}$+…+$（-{a}_{n-1}^{2}+{a}_{n}^{2}）$
=（a₂-a₁）（a₂+a₁）+（a₄-a₃）（a₄+a₃）+…+（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）
=3（a₁+a₂+…+a_n）
=3S_n=$\frac{9{n}^{2}-3n}{2}$．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S_n=S_n-1+b_n=$\frac{9（n-1）^{2}-（n-1）}{2}$-（3n-2）²=$\frac{-9{n}^{2}+3n+4}{2}$．
綜上可得：S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9{n}^{2}-3n}{2}，n為偶數(shù)}\\{\frac{-9{n}^{2}+3n+4}{2}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．