Question

某幾何體的三視圖如圖所示，當(dāng)a+b取最大值時(shí)，這個(gè)幾何體的體積是

 

．

Answer 1

分析：由三視圖及題設(shè)條件知，此幾何體為一個(gè)三棱錐，底面一邊長為1的直角三角形，一條棱長為

6

，由于本題中含有兩個(gè)參數(shù)，且需求滿足兩者和最大時(shí)的體積，故本題第一步是找到關(guān)于a，b的表達(dá)式，先求其和最大時(shí)兩參數(shù)的值，再由體積公式求體積，觀察發(fā)現(xiàn)，可以先用參數(shù)a，b表示出PC，PB的值，在直角三角形BPC中用公股定理建立關(guān)于a，b的方程，研究此方程求出滿足條件的參數(shù)的值再求體積即可．

解答：解：由題設(shè)可得其直觀圖如圖，由三視圖知，PA，PB，PC兩兩垂直
PA=1，BC=

6

，AB=b，AC=a
如圖有PC=

a2-1

，PB=

b2-1

在直角三角形BPC中有PC²+PB²=BC²=6，即a²-1+b²-1=6，即a²+b²=8
可設(shè)a=2

2

cosθ，b=2sinθ，θ∈（0，2π）
則a+b=2

2

cosθ+2

2

sinθ=4sin（θ+

π

4

）≤4，最大值當(dāng)θ=

π

4

時(shí)取到
此時(shí)a=b=2，驗(yàn)證知符合題意
由此知PC=

a2-1

=

3

，PB=

b2-1

=

3

故底面三角形APB的面積為

3

2

，棱錐的體積為

1

3

×

3

2

× 

3

=

1

2

故答案為

1

2

．

點(diǎn)評：本題考點(diǎn)是由三視圖求幾何體的面積、體積，考查對三視圖的理解與應(yīng)用，主要考查三視圖與實(shí)物圖之間的關(guān)系，用三視圖中的數(shù)據(jù)還原出實(shí)物圖的數(shù)據(jù)，再根據(jù)相關(guān)的公式求表面積與體積，本題求的是三棱錐的體積．三視圖的投影規(guī)則是：“主視、俯視 長對正；主視、左視高平齊，左視、俯視 寬相等”．三視圖是新課標(biāo)的新增內(nèi)容，在以后的高考中有加強(qiáng)的可能．本題增加了最值問題的考查，題目難度增加，綜合性較強(qiáng)．