Question

已知函數(shù)f（x）=mx³+nx²（m，n∈R，m≠0），函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處切線與x軸平行，
（1）用關(guān)于m的代數(shù)式表示n；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若x₁＞2，記函數(shù)y=f（x）的圖象在點M（x₁，f（x₁））處的切線l與x軸的交點為（x₂，0），證明：x₂≥3．

Answer 1

（1）∵f（x）=m³x+nx²，
∴f′（x）=3mx²+2nx．
由題意得：f′（2）=0，即3m+n=0，
∴n=-3m；（4分）
（2）∵n=-3m，
∴f（x）=mx³-3mx²，f′（x）=3mx²-6mx，
令f′（x）＞0，
得3mx²-6mx＞0，
當(dāng)m＞0時，∴x＜0或x＞2，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），（2，+∞），
當(dāng)m＜0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，2）；（8分）
（3）由（1）得：f（x）=mx³-3mx²，f′（x）=3mx²-6mx，
l：y-（mx₁³-3mx₁²）=（3mx₁²-6mx₁）（x-x₁），
令y=0，由m≠0，x₁＞2，則x2=

2 x 21 -3x1

3(x1-2)

，
所以x2-3=

2 x 21 -3x1

3(x1-2)

-3=

2 x 21 -12x1+18

3(x1-2)

=

2(x1-3)2

3(x1-2)

，
∵x₁＞2．（x₁-3）²≥0，
∴x₂-3≥0，即x₂≥3．（12分）