Question

14．在平面直角坐標系xOy中，點A（1，2）、B（-2，3）、C（-3，1）．
（1）求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；
（2）若實數(shù)t滿足（$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{OC}$）⊥$\overrightarrow{OC}$，求實數(shù)t的值．

Answer 1

分析 （1）由已知點的坐標求出$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$的坐標，由坐標加減法運算結合模的計算公式求解；
（2）求出$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OC}$的坐標，利用數(shù)量積的坐標運算求得實數(shù)t的值．

解答 解：（1）∵A（1，2）、B（-2，3）、C（-3，1），
∴$\overrightarrow{AB}=（-3，1），\overrightarrow{AC}=（-4，-1）$，
∴$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=（-7，0）$，$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=（1，2）$．
∴$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=\sqrt{（-7）^{2}+{0}^{2}}=7$，$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{5}$．
∴兩條對角線的長分別為7，$\sqrt{5}$；
（2）$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{OC}$=（3t-3，1-t），$\overrightarrow{OC}$=（-3，1），
由（$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{OC}$）•$\overrightarrow{OC}$=-3（3t-3）+1-t=0，解得：t=$\frac{5}{4}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了向量的坐標運算、三角形法則、模的計算公式，訓練了由數(shù)量積為0判斷兩向量垂直的條件，是中檔題．