Question

14．已知圓x²+（y-2）²=1，P（x，y）為圓上一點，求：
（1）$\frac{y}{x}$的范圍；
（2）x+2y的范圍；
（3）x²+y²的范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)t=$\frac{y}{x}$，則y=tx，代入x²+（y-2）²=1，利用判別式，即可求出）$\frac{y}{x}$的范圍；
（2）令b=2x+y，整理，得2x+y-b=0，利用點到直線的距離小于等于半徑，即可求出x+2y的范圍；
（3）x²+y²的幾何意義是（x，y）與原點的距離的平方，即可求出x²+y²的范圍．

解答 解：（1）設(shè)t=$\frac{y}{x}$，則y=tx，代入x²+（y-2）²=1，
可得（1+t²）x²-4tx+3=0，
∴△=16t²-12（1+t²）≥0，
∴t≤-$\sqrt{3}$或t≥$\sqrt{3}$；
（2）令b=2x+y，整理，得2x+y-b=0，
由1≥$\frac{|1-b|}{\sqrt{5}}$，解得1-$\sqrt{5}$≤b≤1+$\sqrt{5}$，
∴x+2y的范圍是（1-$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$）；
（3）x²+y²的幾何意義是（x，y）與原點的距離的平方，圓x²+（y-2）²=1的圓心為（0，2），半徑為1，
∴x²+y²的范圍是[1，9]．

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．