Question

拋物線(xiàn)有光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線(xiàn)經(jīng)拋物線(xiàn)折射后，沿平行于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的方向射出.今有拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）,一光源在點(diǎn)M（，4）處，由其發(fā)出的光線(xiàn)沿平行于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的方向射向拋物線(xiàn)上的點(diǎn)P，折射后又射向拋物線(xiàn)上的點(diǎn)Q，再折射后，又沿平行于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的方向射出，途中遇到直線(xiàn)l:2x-4y-17=0上的點(diǎn)N，再折射后又射回點(diǎn)M（如圖所示）.

(1)設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x₁,y₁),(x₂,y₂)，證明：y₁y₂=-p²;

(2)求拋物線(xiàn)的方程；

（3）試判斷在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)，使該點(diǎn)與點(diǎn)M關(guān)于PN所在的直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)？若存在，請(qǐng)求出此點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

答案：（1）證明：由拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)及題意知，光線(xiàn)PQ必過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)（,0），設(shè)直線(xiàn)方程為y=k(x-).

由

得y²-y-p²=0.

由韋達(dá)定理得y₁y₂=-p².

當(dāng)直線(xiàn)PQ的斜率不存在時(shí)，x=,y₁y₂=-p²也成立.

（2）解：因?yàn)楣饩�(xiàn)QN經(jīng)直線(xiàn)l反射后又射向M點(diǎn)，所以直線(xiàn)MN與直線(xiàn)QN關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，設(shè)M（,4）關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M′（x′,y′），則

解之，得

所以直線(xiàn)QN的方程為y=-1，Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y₂=-1，由題意知P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y₁=4.由（1）的結(jié)論知y₁y₂=-p²，即p²=4,p=2.

所以?huà)佄锞�(xiàn)方程為y²=4x.

(3)解：P點(diǎn)的坐標(biāo)為P（4，4），

由

解得即N（，-1）.

所以直線(xiàn)PN的方程為2x+y-12=0.

設(shè)M點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)PN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M₁（x₁,y₁），則

解之，得

M₁(，-1)的坐標(biāo)是拋物線(xiàn)y²=4x的解，故拋物線(xiàn)上存在一點(diǎn)（，-1）與點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)PN對(duì)稱(chēng).