Question

1．在△ABC中，設(shè)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a≤b≤c，
（1）若b²=ac，求角B的取值范圍；
（2）求證：以$\sqrt{a}，\sqrt，\sqrt{c}$為長的線段能構(gòu)成銳角三角形；
（3）當(dāng)0≤x≤1時，以a^x、b^x、c^x為長的線段是否一定能構(gòu)成三角形？寫出你的結(jié)論，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由條件利用余弦定理求得cosB≥$\frac{1}{2}$，可得B的范圍．
（2）由a≤b≤c，得到$\sqrt{a}$≤$\sqrt$≤$\sqrt{c}$，即$\sqrt{c}$所對的角最大，設(shè)為α，由余弦定理求得cosα＞0，即α為銳角，可得以$\sqrt{a}，\sqrt，\sqrt{c}$為長的線段能構(gòu)成銳角三角形．
（3）當(dāng)0≤x≤1時，由a≤b≤c，可得a^x ≤b^x ≤c^x，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得 a^x+b^x-c^x≥c^x•（$\frac{a}{c}$+$\frac{c}$-1）＞0，可得較小的兩邊之和大于較大的一邊，故以a^x、b^x、c^x為長的線段一定能構(gòu)成三角形．

解答 解：（1）∵在△ABC中，b²=ac，
∴由余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
則B的范圍為（0，60°]．
（2）由a≤b≤c，得到$\sqrt{a}$≤$\sqrt$≤$\sqrt{c}$，即$\sqrt{c}$所對的角最大，設(shè)為α，
由余弦定理得：cosα=$\frac{（\sqrt{a}）^{2}+（\sqrt）^{2}-（{\sqrt{c}）}^{2}}{2\sqrt{ab}}$=$\frac{a+b-c}{2\sqrt{ab}}$，
∵a，b，c為△ABC的三邊，∴a+b＞c，即a+b-c＞0，2$\sqrt{ab}$＞0，
∴cosα＞0，即α為銳角，
則以$\sqrt{a}，\sqrt，\sqrt{c}$為長的線段能構(gòu)成銳角三角形．
（3）當(dāng)0≤x≤1時，由a≤b≤c，可得a^x ≤b^x ≤c^x，
∵a^x+b^x-c^x=c^x•[${（\frac{a}{c}）}^{x}$+${（\frac{c}）}^{x}$-1]≥c^x•（$\frac{a}{c}$+$\frac{c}$-1）=c^x•$\frac{a+b-c}{c}$＞0，
故較小的兩邊之和大于較大的一邊，故以a^x、b^x、c^x為長的線段一定能構(gòu)成三角形．

點評 本題主要考查余弦定理、基本不等式、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．