Question

已知數(shù)列{a_n}中，S_n表示前n項(xiàng)和，如果a_n＞0，a_n+2=2

2Sn

．求證數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可得：8S_n=（a_n+2）²=a_n²+4a_n+4，利用仿寫的方法得到8a_n=a_n²+4a_n-a_n-1²-4a_n-1，進(jìn)行整理可得a_n-a_n-1=4=常數(shù)，進(jìn)而結(jié)合等差數(shù)列的定義即可得到答案．

解答：證明：由題意可得：數(shù)列{a_n}中有a_n+2=2

2Sn

，
所以8S_n=（a_n+2）²=a_n²+4a_n+4…①
所以當(dāng)n≥2時(shí)有：8S_n-1=（a_n-1+2）²=a_n-1²+4a_n-1+4…②
由①-②可得：8a_n=a_n²+4a_n-a_n-1²-4a_n-1，
所以整理可得：4（a_n+a_n-1）=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1），
因?yàn)閍_n＞0，即a_n+a_n-1＞0
所以a_n-a_n-1=4=常數(shù)，
所以由等差數(shù)列的定義可得：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
故數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等差數(shù)列的定義，以及掌握利用仿寫的方法證明數(shù)列是等差（比）數(shù)列或者求數(shù)列的通項(xiàng)公式．