Question

設(shè)不等式mx²-x+1＞0在區(qū)間（1，3）上對(duì)一切x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件，進(jìn)行參數(shù)分離法，結(jié)合二次函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．

解答： 解：當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，不等式mx²-x+1＞0恒成立，
即mx²＞x-1，
即m＞

x-1

x2

=

1

x

-

1

x2

設(shè)t=

1

x

，∵x∈（1，3），∴t∈（

1

3

，1）．
則y=

1

x

-

1

x2

=t-t²=-（t-

1

2

）²+

1

4

，
∵t∈（

1

3

，1）．
∴當(dāng)t=

1

2

時(shí)，函數(shù)y=t-t²=-（t-

1

2

）²+

1

4

取得最大值

1

4

，
∴m＞

1

4

，
故答案為：（

1

4

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，利用參數(shù)分離法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．恒成立的問(wèn)題一般與最值有關(guān)．