Question

設(shè)G、M分別為△ABC的重心和外心，A(－1，0)，B(1，0)且

(Ⅰ)求點C的軌跡E的方程．

(Ⅱ)設(shè)軌跡E與y軸兩個交點分別為A₁，A₂(A₁位于A₂下方)．動點M、N均在軌跡E上，且滿足，直線A₁N和A₂M交點P是否恒在某條定直線l上，若是，試求出l的方程；若不是，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)設(shè)為軌跡E上任意一點，顯然A、B、C不共線，∴　　1分 　　則的重心為，∵　∴的外心為　　3分 　　由　　　6分 　　即點C的軌跡E的方程為： 　　(Ⅱ)設(shè)，為軌跡E上 　　滿足條件的點 　　∵ 　　∴　　8分 　　而直線的方程為：　　(1) 　　直線的方程為：　　(2) 　　由得： 　　∵　∴ 　　∴， 　　即直線和交點P恒在定直線：上　　12分 　　(Ⅱ)法2：設(shè)：，則： 　　由 　　， 　　∴的坐標(biāo)為　　9分 　　∴為：　　10分 　　聯(lián)立的方程，解得：　∴ 　　即點P恒在定直線：上．　　12分