Question

9．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，AA₁=4，
（Ⅰ）求證：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）在AB上是否存在點(diǎn)D使得AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直，再利用直線與平面垂直的性質(zhì)即可證明AC⊥BC₁．
（2）利用三角形中位線的性質(zhì)證明線線平行，再根據(jù)直線與平面平行的判定定理即可證明AC₁∥平面CDB₁．

解答 證明：（1）在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，
所以AB²=AC²+BC²，故AC⊥BC．
因?yàn)镃₁C⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以AC⊥C₁C．
又C₁C?平面BB₁C₁C，BC?平面BB₁C₁C，且C₁C∩BC=C，
所以AC⊥平面BB₁C₁C．
又BC₁?平面BB₁C₁C，所以AC⊥BC₁．
（2）存在點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，使得AC₁∥平面CDB₁．
證明：設(shè)CB₁與C₁B的交點(diǎn)為E，連結(jié)DE，
因?yàn)镋為正方形CBB₁C₁對(duì)角線的交點(diǎn)，
所以E為C₁B的中點(diǎn)．
又D是AB的中點(diǎn)，
所以DE為△ABC₁的中位線，
故DE∥AC₁．
因?yàn)锳C₁?平面CDB₁，DE?平面CDB₁，所以AC₁∥平面CDB₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定定理以及直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用．屬于中檔題．