Question

如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M為CE的中點，
（Ⅰ）求證：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面BEC；
（Ⅲ）求平面BEC與平面ADEF所成銳二面角的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）證明：取DE中點N，連結(jié)MN，AN，
在△EDC中，M，N分別為EC，ED的中點，
所以，
由已知AB∥CD，，
所以MN∥AB，且MN=AB，
所以四邊形ABMN為平行四邊形，
所以BM∥AN，
又因為，
所以BM∥平面ADEF。
（Ⅱ）證明：在正方形ADEF中，ED⊥AD，
又因為平面ADEF⊥平面ABCD，且平面，
所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC，
在直角梯形ABCD中，，
可得，
在△BCD中，，
所以BC⊥BD，
所以BC⊥平面BDE，
又因為
所以平面BDE⊥平面BEC。
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知ED⊥平面ABCD，且AD⊥CD，
以D為原點，DA，DC，DE所在直線為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系，
，
平面ADEF的一個法向量為，
設為平面BEC 的一個法向量，
因為，，
所以，
令x=1，得y=1，z=2，
所以為平面BEC的一個法向量，
設平面BEC與平面ADEF所成銳二面角為θ，
則，
所以平面BEC與平面ADEF所成銳二面角的余弦值為。