Question

16．已知命題p：方程$\frac{x^2}{2-t}+\frac{y^2}{2+t}=1$所表示的曲線為焦點在x軸上的橢圓；命題q：實數(shù)t滿足不等式t²-（a+2）t+2a＜0．
（1）若命題p為真，求實數(shù)t的取值范圍；
（2）若“命題p為真”是“命題q為真”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的方程的特征，得2-t＞2+t＞0即可；
（2）由“命題p為真”是“命題q為真”的充分不必要條件，得{t|-2＜t＜0}是不等式t²-（a+2）t+2a=（t-2）（t-a）＜0的解集的真子集

解答 解：（1）∵方程$\frac{x^2}{2-t}+\frac{y^2}{2+t}=1$所表示的曲線為焦點在x軸上的橢圓，
∴2-t＞2+t＞0．…（3分）
解得-2＜t＜0．…（5分）
（2）∵“命題p為真”是“命題q為真”的充分不必要條件，
∴{t|-2＜t＜0}是不等式t²-（a+2）t+2a=（t-2）（t-a）＜0的解集的真子集．…（7分）
令f（t）=t²-（a+2）t+2a，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（{-2}）≤0\\ f（0）≤0\end{array}\right.$．…（9分）
解得a≤-2，故實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-2]．…（10分）

點評 本題考查了命題真假的應用，充要條件的應用，轉(zhuǎn)化思想是關鍵，屬于基礎題．