Question

已知a為正實數(shù)，n為自然數(shù)，拋物線與x軸正半軸相交于點A，設(shè)f（n）為該拋物線在點A處的切線在y軸上的截距。
（1）用a和n表示f（n）；
（2）求對所有n都有成立的a的最小值；
（3）當(dāng)0＜a＜1時，比較與的大小，并說明理由。

Answer 1

解：（1）∵拋物線與x軸正半軸相交于點A，
∴A（）對求導(dǎo)得y′=-2x
∴拋物線在點A處的切線方程為，
∴
∴f（n）為該拋物線在點A處的切線在y軸上的截距，
∴f（n）=aⁿ；
（2）由（1）知f（n）=aⁿ，則成立的充要條件是aⁿ≥2n+1
即知，aⁿ≥2n+1對所有n成立，
特別的，取n=1得到a≥3
當(dāng)a=3，n≥1時，aⁿ=3ⁿ=（1+2）ⁿ≥1+=2n+1
當(dāng)n=0時，aⁿ=2n+1
∴a=3時，對所有n都有成立
∴a的最小值為3；
（3）由（1）知f（k）=a^k，
下面證明：＞
首先證明：當(dāng)0＜x＜1時，
設(shè)函數(shù)g（x）=6x（x²-x）+1，0＜x＜1，
則g′（x）=18x（x-）
當(dāng)0＜x＜時，g′（x）＜0；
當(dāng)時，g′（x）＞0
故函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上的最小值g（x）_min=g（）=＞0
∴當(dāng)0＜x＜1時，g（x）＞0，
∴
由0＜a＜1知0＜a^k＜1，因此，
從而
=＞6（a+a²+…+aⁿ）
==。