Question

如圖所示,已知正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱長為a,

(1)求證:平面AB₁D₁∥平面C₁BD;

(2)求平面AB₁D₁和平面C₁BD間的距離.

Answer 1

(1)證明:

∵ABCD—A₁B₁C₁D₁是正方體,∴B₁D₁∥BD.

∴B₁D₁∥平面C₁BD.

同理,D₁A∥平面C₁BD,由判定定理知平面AB₁D₁∥平面C₁BD.

(2)解:如圖,連結(jié)A₁C,設(shè)M、N分別是對角線A₁C和平面AB₁D₁、平面C₁BD的交點,

由于A₁A⊥平面ABCD且AC⊥BD,

∴A₁C⊥BD.

同理A₁C⊥BC₁,∴A₁C⊥平面C₁BD,從而A₁C⊥平面AB₁D₁,

因此MN的長即是兩個平行平面AB₁D₁和C₁BD的距離.

在矩形A₁ACC₁中,∵AA₁=CC₁=a,AC=A₁C₁=,∴A₁C=.

設(shè)平面AB₁D₁和平面A₁ACC₁交于直線AP(其中P設(shè)為B₁D₁的中點),則M在直線AP上,又平面BDC₁和平面A₁ACC₁交于C₁Q(其中Q設(shè)為BD的中點),

∴N在直線C₁Q上,且AP∥C₁Q,由平面幾何知識M、N是A₁C的兩個三等分點,

∴MN=,此即為平面AB₁D₁和平面C₁BD間的距離.