Question

【題目】某中學利用周末組織教職員工進行了一次秋季登山健身的活動，有N人參加，現將所有參加者按年齡情況分為[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）等七組，其頻率分布直方圖如下所示．已知[35，40）這組的參加者是8人．
（1）求N和[30，35）這組的參加者人數N1；
（2）已知[30，35）和[35，40）這兩組各有2名數學教師，現從這兩個組中各選取2人擔任接待工作，設兩組的選擇互不影響，求兩組選出的人中都至少有1名數學老師的概率；
（3）組織者從[45，55）這組的參加者（其中共有4名女教師，其余全為男教師）中隨機選取3名擔任后勤保障工作，其中女教師的人數為x，求x的分布列和均值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵年齡在[35，40）內的頻率為0.04×5=0.2，

∴總人數N= =40人．

∵[30，35）這組的頻率為：1﹣（0.01×2+0.02+0.03×2+0.04）×5=0.3，

[30，35）這組的參加者人數N1為：40×0.3=12人

（2）解：記事件B為“從年齡在[30，35]之間選出的人中至少有2名數學教師”，

∵年齡在[30，35）之間的人數為12，

∴P（B）=1﹣ = ，

記事件C為“從年齡在[35，40）之間選出的人中至少有1名數學教師”，

∵年齡在[35，40）之間的人數為8，

∴P（C）=1﹣ = ，

∴兩組選出的人中都至少有1名數學老師的概率P（BC）= =

（3）解：年齡在[45，55）之間的人數為6人，其中女教師4人，

∴ξ的可能取值為1，2，3，

P（ξ=1）= = ，

P（ξ=2）= = ，

P（ξ=3）= = ，

∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P

Eξ= =2

【解析】（1）先求出年齡在[35，40）內的頻率，由此能求出總人數和[30，35）這組的參加者人數N1 ． （2）記事件B為“從年齡在[30，35]之間選出的人中至少有1名數學教師”，記事件C為“從年齡在[35，40）之間選出的人中至少有1名數學教師”，分別求出P（B），P（C），由此能求出兩組選出的人中都至少有1名數學老師的概率．（3）年齡在[45，55）之間的人數為6人，其中女教師4人，ξ的可能取值為1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
【考點精析】本題主要考查了頻率分布直方圖和離散型隨機變量及其分布列的相關知識點，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能正確解答此題．