Question

19．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合，設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$ （參數(shù)t∈R），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=4sinθ．
（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線1與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$ （參數(shù)t∈R），消去參數(shù)t可得普通方程．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=4sinθ，即ρ²cos²θ=4ρsinθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化為直角坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線方程與拋物線方程聯(lián)立化為x²-4x-4=0，利用$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂+（x₁+x₂）+1即可得出．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$ （參數(shù)t∈R），消去參數(shù)t可得：y=x+1．
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos²θ=4sinθ，即ρ²cos²θ=4ρsinθ，化為直角坐標(biāo)方程：x²=4y．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，化為x²-4x-4=0，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=-4，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+1）（x₂+1）=2x₁x₂+（x₁+x₂）+1=2×（-4）+4+1=-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與拋物線相交弦長(zhǎng)問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．