Question

13．斜率為1的直線l過橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的右焦點(diǎn)，交橢圓與AB兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)AB，及三角形OAB的面積．

Answer 1

分析 由題意方程求出橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離，代入三角形面積公式得答案．

解答 解：由$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，得a²=4，b²=1，
∴c²=a²-b²=3，則c=$\sqrt{3}$．
∴橢圓的右焦點(diǎn)F（$\sqrt{3}，0$），
則直線l的方程為y=x-$\sqrt{3}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得$5{x}^{2}-8\sqrt{3}x+8=0$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8\sqrt{3}}{5}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{8}{5}$．
∴$|AB|=\sqrt{2}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}•\sqrt{（\frac{8\sqrt{3}}{5}）^{2}-\frac{32}{5}}=\frac{8}{5}$；
O到直線AB的距離為d=$\frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{1}{2}×\frac{8}{5}×\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線和橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．