Question

已知函數(shù)f（x）=x³+mx²+nx+k的圖象過點 P（0，3），且在點M（1，f（1））處的切線方程為6x-y=0．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤x³+lnx+c有解，求c的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,函數(shù)解析式的求解及常用方法,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）函數(shù)的圖象經(jīng)過P點，所以把P點的坐標代入函數(shù)關系式中即可求出d的值，把d的值代入f（x）確定出函數(shù)的關系式，求出f（x）的導函數(shù)，把（1，f（1））代入導函數(shù)得到f（1）的值，又因為切線方程的斜率為6，所以得到x=1時導函數(shù)的值為6，分別列出關于m與n的兩個方程，聯(lián)立即可求出m與n的值，把m，n和k的值代入即可確定出f（x）的解析式．
（Ⅱ）利用函數(shù)的解析式，化簡不等式，得到c的不等式，通過構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得到c的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）的圖象經(jīng)過P（0，3），知k=3，
所以f（x）=x³+mx²+nx+3，則f'（x）=3x²+2mx+n．
由在M（1，f（1））處的切線方程是6x-y=0，知6-f（1）=0，
即f（1）=6，f'（1）=6
∴

1+m+n+3=6 3+2m+n=6

，
解得m=n=1，
故所求的解析式是f（x）=x³+x²+x+3．
（Ⅱ）不等式f（x）≤x³+lnx+c有解，
即：x³+x²+x+3≤x³+lnx+c，可得x²+x+3-lnx≤c，（x＞0），
令g（x）=x²+x+3-lnx，（x＞0）．
g′（x）=2x+1-

1

x

=

2x2+x-1

x

，
令2x²+x-1=0，解得：x=

1

2

，x=-1（舍去）．
x∈（0，

1

2

），g′（x）＜0，g（x）是減函數(shù)，x∈（

1

2

，+∞）是增函數(shù)，
g（x）的最小值為：g（

1

2

）=

19

4

+ln2，
不等式有解，可得c≥

19

4

+ln2．

點評：此題考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)的最值的求法，考查構(gòu)造法的應用．是一道綜合題．