Question

13．隨機(jī)調(diào)查某社區(qū)80個(gè)人，以研究這一社區(qū)居民在17：00-21：00時(shí)間段的休閑方式是否與性別有關(guān)，得到下面的數(shù)據(jù)表：

休閑方式 性別	看電視	看書(shū)	合計(jì)
男	20	10	30
女	45	5	50
合計(jì)	65	15	80

（1）將此樣本的頻率估計(jì)為總體的概率，隨機(jī)調(diào)查3名在該社區(qū)的男性，設(shè)調(diào)查的3人在這一時(shí)間段以看書(shū)為休閑方式的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和期望；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認(rèn)為在17：00-21：00時(shí)間段的休閑方式與性別有關(guān)系？

Answer 1

分析 （1）由題意可知，X=0，1，2，3，且每個(gè)男性在這一時(shí)間段以看書(shū)為休閑方式的概率為$P=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，運(yùn)用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式求出概率后列出分布列，運(yùn)用二項(xiàng)分布公式求X的期望；
（2）根據(jù)計(jì)算出的臨界值，同臨界值表進(jìn)行比較，得到有99%的把握認(rèn)為在17：00-21：00時(shí)間段的休閑方式與性別有關(guān)系．

解答 解：（1）由題意可知，X=0，1，2，3，
且每個(gè)男性在這一時(shí)間段以看書(shū)為休閑方式的概率為$P=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$，
根據(jù)題意可得X～B（3，$\frac{1}{3}$），∴$P（X=k）=C_3^k{（\frac{2}{3}）^{3-k}}{（\frac{1}{3}）^k}$，k=0，1，2，3，
故X的分布列為 

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{27}$

所以$E（X）=3×\frac{1}{3}=1$．
（2）由${K^2}=\frac{{n{{（{n_{11}}{n_{22}}-{n_{12}}{n_{21}}）}^2}}}{{{n_1}+{n_2}+{n_{+1}}{n_{+2}}}}$，得${K^2}=\frac{{80×{{（45×10-20×5）}^2}}}{65×15×50×30}=\frac{784}{117}≈6.70$，
因?yàn)?.70＞6.635，所以我們有99%的把握認(rèn)為在17：00-21：00時(shí)間段的休閑方式與性別有關(guān)系．

點(diǎn)評(píng) 本題是一個(gè)獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們可以利用臨界值的大小來(lái)決定是否拒絕原來(lái)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)，若值較大就拒絕假設(shè)，即拒絕兩個(gè)事件無(wú)關(guān)．