Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

3

2

，且a_n=

3nan-1

2an-1+n-1

（n≥2，n∈N^*）．
（1）求

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

的值；
（2）求證：a₁+

a2

2

+…+

an

n

≤n+

5

6

-

1

3n

（n∈N^*）；
（3）設(shè)bn=

an

n

（n∈N^*），求證：b₁b₂…b_n＜2．

Answer 1

分析：（1）把所給的式子變形可得  3（

n

an

-1）=

n-1

an-1

-1，故可得 {

n

an

-1}是以-

1

3

位首項(xiàng)，以

1

3

為公比的等比數(shù)列，求出

n

an

=1-(

1

3

)n，從而可求

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

的值．
（2）由條件可得

an

n

=

3n

3n-1

≤1+

2

3n

，從而得到  a₁+

a2

2

+…+

an

n

≤n+

1

2

+

2 9 [1-( 1 3 ) n-1]

1- 1 3

=n+

1

2

+

1

3

-(

1

3

)n，運(yùn)算求出結(jié)果．
（3）由b_n=

an

n

=

3n

3n-1

，用數(shù)學(xué)歸納法證明 b₁b₂…b_n＜2

3n - 1

3n

＜2，（n≥2），再由b₁＜2，從而得出結(jié)論成立．

解答：解：（1）∵a₁=

3

2

，且a_n=

3nan-1

2an-1+n-1

（n≥2，n∈N^*），∴

1

an

=

2an-1+n-1

3nan-1

，

n

an

=

2

3

+

1

3

×

n-1

an-1

．
∴

3n

an

=2+

n-1

an-1

，∴3（

n

an

-1）=

n-1

an-1

-1．
故可得 {

n

an

-1}是以-

1

3

位首項(xiàng)，以

1

3

為公比的等比數(shù)列，∴

n

an

-1=-

1

3

 (

1

3

)n-1，∴

n

an

=1-(

1

3

)n．
∴

1

a1

+

2

a2

+…+

n

an

=n-

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=n-

1

2

+

1

2

 (

1

3

)n．

（2）∵

n

an

=1-(

1

3

)n，∴

an

n

=

3n

3n-1

=1+

1

3n-1

≤1+

2

3n

，

∴a₁+

a2

2

+…+

an

n

≤n+

1

2

+

2 9 [1-( 1 3 ) n-1]

1- 1 3

=n+

1

2

+

1

3

-(

1

3

)n=n+

5

6

-

1

3n

（n∈N^*）．

（3）∵b_n=

an

n

=

3n

3n-1

，現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明 b₁b₂…b_n＜2

3n - 1

3n

，（n≥2）．
當(dāng)n=2時，b₁b₂ =

3

3-1

 

9

9-1

=

27

16

 ＜

16

9

=2

9-1

9

．
假設(shè)當(dāng)n=k （k≥2）時，b₁b₂…b_k ＜2

3k - 1

3k

，
當(dāng) n=k+1時，b₁b₂…b_k b_k+1＜2

3k - 1

3k

•

31+k

3k+1-1

． 
要證明 2

3k - 1

3k

•

31+k

3k+1-1

＜2

3k1 - 1

3k+1

，
只需證明 3^k+1•3^k+1 （ 3^k-1）＜3^k•（3^k+1-1）²，
只要證 3×3^k+1  （ 3^k-1）＜（3^k+1-1）²，3^2k+2-3^k+2＜3^2k+2-23^k+1+1，
3^k+2＞23^k+1-1，3^k+1＞-1．
而3^k+1＞-1 顯然成立，∴n=k+1 時，b₁b₂…b_k b_k+1＜2

3k1 - 1

3k+1

，
綜上得 b₁b₂…b_k b_k+1＜2

3k1 - 1

3k+1

＜2．
又當(dāng)n=1時，b₁＜2，所以 b₁b₂…b_k b_k+1＜2．

點(diǎn)評：本題主要考查用放縮法證明不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，掌握好放縮的程度，是解題的難點(diǎn)．還考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，等比關(guān)系的確定，數(shù)列與不等式的綜合，屬于難題．