Question

9．已知函數(shù)f（x）=log_a（a-a^x）（a＞0且a≠1）．
（1）求該函數(shù)的定義域和值域；
（2）判斷該函數(shù)的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）令a-a^x＞0，分0＜a＜1和a＞1討論，可得函數(shù)的定義域，進(jìn)而求出真數(shù)的范圍，可得函數(shù)的值域；
（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”的原則，分析內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性，可得緒論；

解答 解：（1）令a-a^x＞0，則a＞a^x，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解得：x＞1，
即函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）；
則t=a-a^x∈（0，a），
故函數(shù)的值域?yàn)椋?，+∞）；
當(dāng)a＞1時(shí)，解得：x＜1，
即函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，1）；
則t=a-a^x∈（0，a），
故函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，1）；
綜上可得：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)的定義域、值域均為（1，+∞）；
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)的定義域、值域均為（-∞，1）
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，
∴t=a-a^x為增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）=log_a（a-a^x）為減函數(shù)，
當(dāng)a＞1時(shí)，
∴t=a-a^x為減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）=log_a（a-a^x）為減函數(shù)，
綜上可得：函數(shù)f（x）=log_a（a-a^x）在其定義域上為減函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．