Question

5．定義域為R的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x（x≤0）}\\{f（x-1）（0＜x≤3）}\\{-3（x-4）^{2}+3（x＞3）}\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f（x）-2x-a有且只有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． {a|-6≤a＜2}
• B． {a|-4≤a＜2}∪{-5}∪{-6}
• C． {a|-5≤a＜2}∪{-6}
• D． {a|-4≤a＜2}∪{-$\frac{14}{3}$}∪{-6}

Answer 1

分析 由題意可知函數(shù)f（x）與函數(shù)y=2x+a有且只有兩個不同的交點，作函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解．

解答 解：∵函數(shù)g（x）=f（x）-2x-a有且只有兩個零點，
∴函數(shù)f（x）與函數(shù)y=2x+a有且只有兩個不同的交點，
作函數(shù)f（x）與函數(shù)y=2x+a的圖象如下，

其中紅色為線條為函數(shù)f（x）的圖象，藍色線條為當a取不同的值時y=2x+a的圖象；
直線l時a取2，直線m時a取-4；直線k時a取-6；
直線n是y=-3（x-4）²+3的切線，
故-6（x-4）=2；
故x=4-$\frac{1}{3}$，y=3-$\frac{1}{3}$；
故a=3-$\frac{1}{3}$-2（4-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{3}$-5=-$\frac{14}{3}$；
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為{a|-4≤a＜2}∪{-$\frac{14}{3}$}∪{-6}；
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的零點與函數(shù)圖象的交點的應用及數(shù)形結(jié)合的思想應用，屬于中檔題．