Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow3zfp111$及實(shí)數(shù)x，y，且|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+（x²-3）$\overrightarrow$，$\overrightarrow319rvzh$=-y$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow$，如果$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow31vrn1v$，且|$\overrightarrow{c}$|≤$\sqrt{10}$．
（1）求x，y的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）及定義域；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，指出單調(diào)區(qū)間，并求出函數(shù)的最大值、最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件知，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0，\overrightarrow{c}•\overrightarrowrvtfftb=0$，從而得到$[\overrightarrow{a}+（{x}^{2}-3）\overrightarrow]•（-y\overrightarrow{a}+x\overrightarrow）=0$，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可得出y=x（x²-3），而由$|\overrightarrow{c}|≤\sqrt{10}$便可得到${\overrightarrow{c}}^{2}≤10$，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出x的范圍，即y=f（x）的定義域?yàn)?[-\sqrt{6}，\sqrt{6}]$；
（2）求導(dǎo)數(shù)，f′（x）=3（x²-1），從而可以判斷導(dǎo)數(shù)在定義域[$-\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$]上的符號(hào)，從而便可得出f（x）的單調(diào)區(qū)間，并且可以得出極值，比較端點(diǎn)值即可得出函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow，\overrightarrow{c}⊥\overrightarrowrfbn7lz$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0，\overrightarrow{c}•\overrightarrown1jjdj3=0$；
又$|\overrightarrow{a}|=1，|\overrightarrow|=1$；
∴$[\overrightarrow{a}+（{x}^{2}-3）\overrightarrow]•（-y\overrightarrow{a}+x\overrightarrow）$=-y+x（x²-3）=0；
∴y=x（x²-3）；
由$|\overrightarrow{c}|≤\sqrt{10}$得${\overrightarrow{c}}^{2}≤10$；
∴$[\overrightarrow{a}+（{x}^{2}-3）\overrightarrow]^{2}$=1+（x²-3）²≤10；
解得$-\sqrt{6}≤x≤\sqrt{6}$；
∴y=f（x）的定義域?yàn)閇$-\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$]；
（2）f（x）=x³-3x，f′（x）=3（x²-1）；
∴x$∈[-\sqrt{6}，-1）$時(shí)，f′（x）＞0，x∈（-1，1）時(shí)，f′（x）＜0，$x∈（1，\sqrt{6}]$時(shí)，f′（x）＞0；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[-\sqrt{6}，-1]，[1，\sqrt{6}]$，單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1），且f（-1）為f（x）的極大值，f（1）為f（x）的極小值；
又$f（-\sqrt{6}）=-3\sqrt{6}$，f（1）=-2，$f（\sqrt{6}）=3\sqrt{6}$，f（-1）=2；
∴f（x）的最大值為$3\sqrt{6}$，最小值為-$3\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量垂直的充要條件，數(shù)量積的運(yùn)算，函數(shù)極大值、極小值的定義，以及最大值、最小值的定義，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性及求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法．