Question

15．已知{a_n}是等比數(shù)列，且a_n＞0，a₄+a₃-a₂-a₁=5，則a₅+a₆的最小值為（　�。�

• A． 10
• B． 14
• C． 16
• D． 20

Answer 1

分析 設 a₂+a₁=x，等比數(shù)列的公比為q，由條件求得 x=$\frac{5}{{q}^{2}-1}$＞0，q＞1，再由a₅+a₆ =xq⁴=$\frac{5{q}^{4}}{{q}^{2}-1}$=5（ q²-1+$\frac{1}{{q}^{2}-1}$+1 ），利用基本不等式求出a₅+a₆的最小值．

解答 解：∵{a_n}是等比數(shù)列，且a_n＞0，a₄+a₃-a₂-a₁=5，
設 a₂+a₁=x，等比數(shù)列的公比為q，則a₄+a₃=xq²，a₅+a₆=xq⁴．
再由a₄+a₃-a₂-a₁=5，可得 xq²=5+x，
∴x=$\frac{5}{{q}^{2}-1}$＞0，q＞1．
∴a₅+a₆=xq⁴=$\frac{5-{q}^{2}}{{q}^{2}-1}$=5•$\frac{{q}^{4}-1+1}{{q}^{2}-1}$=5（ q²+1+$\frac{1}{{q}^{2}-1}$）=5（ q²-1+$\frac{1}{{q}^{2}-1}$+2 ）≥5 （2+2）=20，
當且僅當q²-1=1時，等號成立，故a₅+a₆的最小值為20，
故選：D．

點評 本題考查等比數(shù)列中兩項和的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質的合理運用．