Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=2t，t²-2ta_n-1+a_n-1a_n=0，n=2，3，4，…，（其中t為常數且t≠0）．
（1）求證：數列為等差數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）設，求數列{b_n}的前n項和為S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中，t²-2ta_n-1+a_n-1a_n=0，n=2，3，4，…，我們易變形為t²-ta_n-1=ta_n-1-a_n-1a_n，進而得到-=，根據等差數列的定義可得數列為等差數列；
（2）由（1）中結論，我們結合等差數列的通項公式，及已知中a₁=2t，得到數列{a_n}的通項公式；
（3）根據（2）中的數列{a_n}的通項公式，我們易得到數列b_n的通項公式，利用拆項法，我們易求出數列{b_n}的前n項和為S_n．
解答：證明：（1）∵t²-2ta_n-1+a_n-1a_n=0，
∴（t²-ta_n-1）-（ta_n-1-a_n-1a_n）=0，
即t²-ta_n-1=ta_n-1-a_n-1a_n，
∵t-a_n-1≠0
∴==
即-=
∴數列為等差數列；
解：（2）由（I）得數列為等差數列，公差為，
∴=+（n-1）=
∴a_n=
（3）===
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=t[（1-）+（-）+…+（）]=t（1-）=
點評：本題考查的知識點是等差數列關系的確定，數列的求和，其中（1）的關鍵是根據等差數列的定義，判斷出-=，（2）的關鍵是熟練掌握等差數列的通項公式，（3）的關鍵是根據數列{b_n}的通項公式確定使用拆項法進行數列求和．