Question

2．9粒種子分種在3個坑中，每坑3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為0.5．若一個坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個坑內(nèi)不需要補種；若一個坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽，則這個坑需要補種．
（1）求單個坑不需要補種的概率；
（2）用ξ表示需要補種的坑數(shù)，求ξ的分布列；
（3）假定每個坑至多補種一次，每補種1個坑需10元，用X表示補種的費用，求X的期望與方差．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用對立事件概率計算公式能求出單個坑不需要補種的概率．
（2）用ξ表示需要補種的坑數(shù)，則ξ～B（3，0.875），由此能求出ξ的分布列．
（3）由題意知一共種了3個坑，每個坑至多補種一次，每補種1個坑需10元，得到變量X的可能取值是0，10，20，30，分別求出相應的概率，由此能求出變量X的分布列，從而能求出X的期望與方差．

解答 解：（1）∵9粒種子分種在3個坑中，每坑3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為0.5．
若一個坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個坑內(nèi)不需要補種，
若一個坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽，則這個坑需要補種，
∴單個坑不需要補種的概率p=1-0.5³=0.875．
（2）用ξ表示需要補種的坑數(shù)，則ξ～B（3，0.875），
P（ξ=0）=C₃³0.875³=0.670，
P（ξ=1）=C₃²0.875²×0.125=0.287，
P（ξ=2）=C₃¹×0.875×0.125²=0.041，
P（ξ=3）=0.125³=0.002，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	0.670	0.287	0.041	0.002

（3）由題意知一共種了3個坑，每個坑至多補種一次，每補種1個坑需10元
得到變量X的可能取值是0，10，20，30，
根據(jù)獨立重復試驗得到概率
P（X=0）=C₃³0.875³=0.670
P（X=10）=C₃²0.875²×0.125=0.287
P（X=20）=C₃¹×0.875×0.125²=0.041
P（X=30）=0.125³=0.002
∴變量的分布列是：

X	0	10	20	30
P	0.670	0.287	0.041	0.002

∴X的數(shù)學期望為：EX=0×0.670+10×0.287+20×0.041+30×0.002=3.75，
∵ξ～B（3，0.875），X=10ξ，
X的方差為：DX=D（10ξ）=100D（ξ）=100×3×0.875×（1-0.875）=32.8125．

點評 考查運用概率知識解決實際問題的能力，對立事件是指同一次試驗中，不會同時發(fā)生的事件，遇到求用至少來表述的事件的概率時，往往先求它的對立事件的概率．