Question

如圖，兩矩形ABCD、ABEF所在平面互相垂直，DE與平面ABCD及平面所成角分別為30°、45°， M、N分別為DE與DB的中點，且MN=1。
（Ⅰ）求證：MN⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求線段AB的長；
（Ⅲ）求二面角A-DE-B的平面角的正弦值。

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF=AB，EB⊥AB， ∴EB⊥平面ABCD， 又MN∥EB， ∴MN⊥面ABCD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知∠EDB為DE與平面ABCD所成的角， ∴∠EDB=30°， 又在Rt△EBD中，EB=2MN=2，∠EBD=90°， ∴DE=， 連結(jié)AE，可知∠DEA為DE與平面ABEF所成的角， ∴∠DEA=45°， 在Rt△DAE中，∠DAE=90°， ∴AE=DE·cos∠DEA=2， 在Rt△ABE中，。 （Ⅲ）解：過B作BO⊥AE于O點，過O作OH⊥DE于H，連BH， ∵AD⊥平面ABEF，BO面ABEF， ∴BO⊥平面ADE， ∴OH為BH在平面ADE內(nèi)的射影， ∴BH⊥DE，即∠BHO為所求二面角的平面角， 在Rt△ABE中，BO=， 在Rt△DBE中，由BH·DE=DB·OE得BH=， ∴sin∠BHO=。