Question

13．如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求M在AB的延長線上，N在AD的延長線上，且對(duì)角線MN過C點(diǎn)．已知AB=2米，AD=1米．
（1）設(shè)BM=x（單位：米）．寫出花壇AMPN的面積為S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式S=f（x）；
（2）判斷S=f（x）的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明，求當(dāng)AM，AN的長度分別是多少時(shí)，花壇AMPN的面積最��？

Answer 1

分析 （1）由三角形相似得到AN與x的關(guān)系，然后直接代入矩形面積公式，求出S=f（x）即可；
（2）由函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$+4，x∈[1，3]，的單調(diào)性可求得結(jié)論．

解答 解：（1）花壇AMPN的面積為S=f（x），
由 $\frac{x}{2+x}$=$\frac{1}{AN}$，∴AN=$\frac{2+x}{x}$，
∴f（x）=$\frac{{（2+x）}^{2}}{x}$（x＞0）．
（2）由f（x）=$\frac{{（2+x）}^{2}}{x}$（x＞0），
則f（x）=x+$\frac{4}{x}$+4≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$+4=8，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)“=”成立，
∴f（x）_min=f（2）=8，
即當(dāng)AM=4米，AN=2米時(shí)，花壇AMPN面積最小為8平方米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)模型，考查了不等式的解法，考查了函數(shù)y=x+$\frac{k}{x}$（k＞0）的單調(diào)性，是中檔題．