Question

12．已知函數(shù)f（x）=x³+f′（$\frac{2}{3}$）x²-x．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（cosx）的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）把原函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，取x=$\frac{2}{3}$得到f′（$\frac{2}{3}$）的值，再代入原函數(shù)，求導(dǎo)后由導(dǎo)函數(shù)的零點對定義域分段，由導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號求得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）令t=cosx換元，由（1）中所求的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)f（t）的最值，即可得到f（cosx）的最小值和最大值．

解答 解：（1）由f（x）=x³+f′（$\frac{2}{3}$）x²-x，得
${f}^{′}（x）=3{x}^{2}+2{f}^{′}（\frac{2}{3}）x-1$，取x=$\frac{2}{3}$，得${f}^{′}（\frac{2}{3}）=3×\frac{4}{9}+\frac{4}{3}{f}^{′}（\frac{2}{3}）-1$，即${f}^{′}（\frac{2}{3}）=-1$．
∴f（x）=x³+f′（$\frac{2}{3}$）x²-x=x³-x²-x．
則f′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1）．
當(dāng)x∈（$-∞，-\frac{1}{3}$），（1，+∞）時f′（x）＞0，當(dāng)x$∈（-\frac{1}{3}，1）$時，f′（x）＜0．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（$-∞，-\frac{1}{3}$），（1，+∞）；
單調(diào)減區(qū)間為$（-\frac{1}{3}，1）$；
（2）令t=cosx，則t∈[-1，1]．
由（1）知，f（t）在$[-1，-\frac{1}{3}）$上為增函數(shù)，在$（-\frac{1}{3}，1]$上為減函數(shù)，
而f（-1）=（-1）³-（-1）²-（-1）=-1，$f（-\frac{1}{3}）=（-\frac{1}{3}）^{3}-（-\frac{1}{3}）^{2}-（-\frac{1}{3}）$=$\frac{5}{27}$，f（1）=1³-1²-1=-1．
∴f（cosx）的最小值為-1，最大值為$\frac{5}{27}$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的，訓(xùn)練了換元法在解題中的應(yīng)用，是中檔題．