Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，直線y=

3

3

x+4與以原點(diǎn)為圓心，短半軸長為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過左焦點(diǎn)F₁作不與x軸垂直的直線l，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M（m，0）滿足（

MA

-

MB

）•（

MA

+

MB

）=0，問

| MA - MB |

| MF1 |

是否為定值，若是，求出此定值，若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由直線和圓相切的條件，即可得到b，再由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，即可解出a，c，從而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=k（x+2），聯(lián)立橢圓方程消去y，得到x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，由點(diǎn)M（m，0）滿足（

MA

-

MB

）•（

MA

+

MB

）=0，得到M在AB的中垂線上，有-

1

k

=k_MP=運(yùn)用斜率公式，求出m，再由|

MA

-

MB

|=|

AB

|，求出弦長AB，以及|

MF1

|=|m+2|，注意用k表示，最后相除即可得到定值．

解答： 解：（Ⅰ）由直線y=

3

3

x+4與以原點(diǎn)為圓心，短半軸長為半徑的圓相切，
得b=

4

1+ 1 3

=2

3

，
由于離心率為

1

2

，即有

c

a

=

1

2

，又b²=a²-c²，
得到a=4，c=2，
則橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1；
（Ⅱ）由于F₁（-2，0），直線l不與x軸垂直，
設(shè)直線l：y=k（x+2），
聯(lián)立橢圓方程消去y，得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-48=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

-16k2

3+4k2

，x₁x₂=

16k2-48

3+4k2

，
則AB的中點(diǎn)P為（

-8k2

3+4k2

，

6k

3+4k2

）．
由于點(diǎn)M（m，0）滿足（

MA

-

MB

）•（

MA

+

MB

）=0，
即有

MA

2=

MB

2，即|

MA

|=|

MB

|，
則M在AB的中垂線上，即有-

1

k

=k_MP=

6k

-8k2-3m-4mk2

．
則m=

-2k2

3+4k2

，即|

MF1

|=|m+2|=

6+6k2

3+4k2

，
|

MA

-

MB

|=|

AB

|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

256k4 (3+4k2)2 -4• 16k2-48 3+4k2

=

24(1+k2)

3+4k2

，
故

| MA - MB |

| MF1 |

=

| AB |

| MF1 |

=

24

6

=4．
即有

| MA - MB |

| MF1 |

為定值，且為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，同時(shí)考查直線與圓相切的條件，考查向量的運(yùn)算，屬于中檔題．