Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（ax-1）e^x+2x+1，已知f（x）在x=0處取得極值．
（I）求a的值；
（II）證明：當(dāng)x≥0時(shí)，

f(x)-1

ex

≤-

x2+1

x+1

．

Answer 1

分析：（I）由f（x）=（ax-1）e^x+2x+1，知f′（x）=（ax+a-1）e^x+2，由f（x）在x=0處取得極值，能求出a．
（Ⅱ）由a=-1，知f（x）=-（x+1）e^x+2x+1，由x≥0，知欲證

-(x+1)ex+2x

ex

≤-

x2+1

x+1

，只需證e^x≥x+1．由此能夠證明當(dāng)x≥0時(shí)，

f(x)-1

ex

≤-

x2+1

x+1

．

解答：解：（I）f（x）=（ax-1）e^x+2x+1，
∴f′（x）=（ax+a-1）e^x+2，
∵f（x）在x=0處取得極值，
∴f′（0）=a-1+2=0，
解得a=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=-1，
∴f（x）=-（x+1）e^x+2x+1，
∵x≥0，
∴欲證

-(x+1)ex+2x

ex

≤-

x2+1

x+1

，只需證e^x≥x+1．
令g（x）=e^x-x-1，
則g′（x）=e^x-1，
令g′（x）=0，解得x=0．
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）=e^x-1，
令g′（x）=0，解得x=0．
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，此時(shí)g（x）單調(diào)遞增，
因此g（x）_min=g（0）=0，即g（0）≥0，
從而e^x≥x+1，
∴當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤e^x（x+1）成立．
故當(dāng)x≥0時(shí)，

f(x)-1

ex

≤-

x2+1

x+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的極值點(diǎn)的應(yīng)用，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、構(gòu)造法的合理運(yùn)用．