Question

已知直線y=kx+1與曲線y=lnx有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：直線y=kx+1與曲線y=lnx有公共點(diǎn)，等價(jià)于方程kx+1=lnx在x＞0時(shí)，有解，即k=

lnx-1

x

有解，構(gòu)造函數(shù)f（x）=

lnx-1

x

，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的取值情況，即可求出k的取值范圍．

解答：解：∵直線y=kx+1與曲線y=lnx有公共點(diǎn)，
∴等價(jià)于方程kx+1=lnx在x＞0時(shí)，有解，
即k=

lnx-1

x

有解，
構(gòu)造函數(shù)f（x）=

lnx-1

x

，
則f'（x）=

1 x •x-(lnx-1)

x2

=

2-lnx

x2

，
由f'（x）＞0，解得0＜x＜e²，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f'（x）＜0，解得x＞e²，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=e²時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，同時(shí)也是最大值f（e²）=

lne2-1

e2

=

2-1

e2

=

1

e2

，
∴f（x）≤

1

e2

，
∴k≤

1

e2

，
即實(shí)數(shù)k的取值范圍是k≤

1

e2

．
故答案為：k≤

1

e2

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，利用條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)．